Fraktaler ur kaos: Fraktaldimension som indikator för divergens hos dubbelpendlar
Fysik
Utställare
Adam Johansson,
Anton Mattsson,
Olle Ahlin,
Victor Millberg
Skola
Danderyds Gymnasium
Ort
Stockholm
Projektsammanfattning
Dubbelpendeln är ett kaotiskt system, vilket innebär att två dubbelpendlar som sätts igång med nästan samma ursprungsläge kommer att bete sig helt olika efter att tillräckligt lång tid har gått, oavsett hur liten den ursprungliga skillnaden var. Fraktaler är strukturer som har detalj och struktur på alla skalor, även godtyckligt små, och olika former av fraktaldimension kan användas för att beskriva hur komplexa fraktalerna är. I vårt arbete fick vi fraktaler genom att rita upp bilder där varje pixel svarar mot ett läge att släppa från för dubbelpendeln och en pixel färgas vit om dubbelpendeln från det slår över inom 10 sekunder framåt, annars färgas den svart. Kanten mellan dessa färger utgör en fraktal. Vår frågeställning var om fraktaldimensionen (hur komplexa bilderna är) har något samband med hur kaotiskt systemet är, då man varierar massor och längder. Kaosgraden mättes konkret med den så kallade maximala Lyapunov-exponenten. Resultaten visade på att en sådan korrelation existerar.
Abstract
Ladda nerPoster
Hur hittar man själva rapporten?
Hej Bror!
Här är en länk till Rapporten: https://github.com/geckoanton/PendulumFractals/blob/main/Rapport/Rapport.pdf
På samma GitHub-repository kan man även se data, ytterligare bilder, med mera. Man kan även hitta koden så att man kan leka själv med våra fraktaler, simuleringar etc.
/Adam
Varför valde ni att jobba med just fraktaler och kaos system?
Hej Tobias!
En viktig inspiration till projektet var en video som Derek Muller aka Veritasium lagt upp på sin YouTube-kanal som handlade om kaos och fjärilseffekten. (Länk: https://www.youtube.com/watch?v=fDek6cYijxI). Vi blev faschinerade av delar av kaos och kaosteori, tidigare hade det bara verkat som att kaos var en olycklig sanning i universum, att saker inte går att förutsäga. Men videon öppnade våra ögon för att det faktiskt finns riktigt vackra strukturer bakom hur kaotiska system fungerar (exempelvis fjärilsattraktorn som kan ses i slutet på videon, men förhoppningsvis ska även våra bilder i bildspelet visa detta).
Vad gäller fraktaler så hade vi alla stött på konceptet förut, framförallt inom matematik. Om man googlar exempelvis “Mandelbrot set” (mandelbrotmängden på svenska) så kan man få upp många häftiga bilder. Läser man om hur fraktalerna fungerar så har även dessa många häftiga delar. En annan del är att vi läst att även om fraktaler är häftiga rent abstrakt, så kan de faktiskt dyka upp mycket ofta i naturen. (En bra video som sammanfattar detta har gjorts av 3Blue1Brown: https://www.youtube.com/watch?v=gB9n2gHsHN4.) Även videon av Veritasium tar upp fraktaler om än mycket kort, och det var framförallt det som var gnistan som fick oss att fråga oss vilka kopplingar som finns mellan fraktalerna och kaos och hur de ser ut mer i detalj. Efter mycket reflektion och experimentation kom vi till sist fram till det vi skulle undersöka: “Fraktaldimension som indikator för divergens i dubbelpendlar”, vilket kort sagt frågar om komplexiteten i fraktalbilder som uppstår ur kaos har något att göra med hur pass kaotiska själva systemen är.
Tack för din fråga! Är det något du undrar över är det bara att fråga.
/Adam
Vilka svårigheter stötte ni på under arbetets gång?
Hej Alma!
En av svårigheterna med projektet var att ta fram alla rörelseekvationer för dubbelpendeln. I och med att kunskapen som krävs ligger utanför vad man lär sig på gymnasiet så var det en hel del arbete med att förstå hur man gjorde allt.
Sen har vi också stött på några mindre svårigheter när det kommer till programmeringen och fått lägga en hel del tid där på debugging. En annan sak som var svår och tog tid var att visa all data vi samlade in på ett så enkelt och tilltalande sätt som möjligt. Samt att begränsa projektet och fokusera det till det centrala, det finns så väldigt många olika andra saker man kan titta på i dubbelpendelsystemet!
Tack för frågan! Om du undrar över något annat är det bara att fråga.
/Victor
Är detta ett arbete som ni kommer ta med er i framtiden?
Hej Daniel och tack för din fråga!
Det här är ett arbete som vi alla lagt ned mycket tid och arbete på och som har varit givande på många olika sätt, så det blir säkerligen något vi kommer att komma ihåg och ta med oss in i framtiden.
Själva arbetet i sig är ju resultatet av mycket arbete, men också stort intresse och nyfikenhet. Det är något som vi är stolta över att ha genomfört och det är en fin sak att ha gjort så här i slutet på gymnasietiden.
Mer i stort så kommer vi ta med oss många lärdomar som arbetet fört med sig, och det är långt ifrån bara saker inom fysik och matte; en av de främsta sakerna vi förstått nu är att man med lite ansträngning, kreativitet och ett stort mått av gott samarbete faktiskt kan hitta tidigare okända resultat, även utan en forskarutbildning. Vi har insett att bara man brinner för det man gör kan man nå långt.
Vi som skriver nu (Olle och Adam) kommer nog att ta med oss nya kunskaper och intresse för kaos och fraktalgeometri och allt det intressanta som finns att lära om dessa områden. Det har varit mycket att läsa och mycket teori att förstå, men det har varit roligt och intressant att ta del av det.
Hoppas det besvarar din fråga! Är det något du undrar är det bara att fråga.
/Olle och Adam
Wow, vilket coolt projekt! Hur gjorde ni för att lära er allt det som krävdes för projektet? Visste ni vilka kunskapsluckorna var redan innan, eller behövde ni klura ut allt längs vägen?
Hej Alice, roligt att du tycker projektet verkar intressant!
För att svara på din fråga så visste vi inte exakt vilka luckorna var, för exempelvis hade vi inte ens hört talas om den maximala Lyapunov-exponenten när vi funderade på hur fraktaler relaterade till kaos. Däremot visste vi att det var väldigt mycket att lära sig, både om kaos och om fraktaler, för att kunna genomföra projektet. Oss emellan har vi läst framförallt tre böcker, vilka vi lånade/köpte för att få en bra introduktion till områdena och teorin, samt lära oss matematiken bakom de viktigaste koncepten. Vi delade upp områdena mellan oss, så var och en har specialiserat på ett särskilt område. Sedan för att kunna simulera dubbelpendeln behövde vi lära oss en särskild slags metod inom fysiken som kallas lagrangemekanik, vilket tog mycket tid och ansträngning att lära sig.
Den experimentella sidan av arbetet har bland annat bestått av att implementera pendelsimuleringarna i kod, vilket har krävt en hel del googlande för att lösa olika tekniska problem som oväntat dykt upp med jämna mellanrum.
Överlag har vi experimenterat väldigt mycket med olika lösningar, både vad gäller teori och programmering, och vi har hela tiden försökt lösa de många svårigheter som dykt upp, och där har både böcker och internet varit till stor hjälp. Kort sagt har vi definitivt haft luckor i vår kunskap som vi fyllt längs vägen, och det var inte alls självklart från början vad vi skulle behöva lära oss. Oavsett har vi alla i gruppen lärt oss mängder av olika saker under arbetets gång.
Tack för din fråga!
/Anton